MENTAL, un Lenguaje Universal de Representación

MENTAL, UN LENGUAJE
UNIVERSAL DE REPRESENTACIÓN

“El lenguaje es una representación isomórfica o modelo del mundo” (Wittgenstein)

“Una representación lógica de hechos es un pensamiento” (Wittgenstein)

“La visión o la imaginación es una representación de lo eterno, verdadero e inmutable” (Willia Blake)

La Representación
Se llama “representación” a una realidad que sustituye, imita o refleja a otra. Por ejemplo, un mapa puede representar a un territorio, un cuadro a un paisaje, un retrato a una persona, una partitura a una composición musical, etc.

Las características principales de la representación son:

Puede haber muchas formas de representación, mientras que lo que se quiere representar (lo representado) es único. La representación implica alternativas, posibilidades. Puede haber representaciones de tipo textual, gráfica, sonora, etc. Aquí nos interesa la representación lingüística, que es textual, lineal, unidimensional.
Puede haber muchos aspectos de representación, según el aspecto que queremos capturar de la realidad: atributos, relaciones causales, estructura, procesos, etc. Estos aspectos pueden ser independientes o interdependientes.
Puede haber muchos niveles de representación, según el nivel de detalle a considerar.
La única representación completa de un objeto es el propio objeto. La mejor representación de algo es la que se representa a sí mismo. Cualquier otra representación es incompleta e imperfecta, es decir, solo es una aproximación a la realidad.
Una representación es isomórfica cuando los elementos (incluyendo sus relaciones) de la realidad tienen sus correspondientes elementos en la representación. En este caso, los elementos de la representación deben ser más simples o más abstractos que los elementos de la realidad.
La representación siempre busca la forma óptima, más adecuada y de la máxima simplicidad posible, que haga explícitas las características de la realidad a representar.
Una representación es una manera de reducir la complejidad, pues la representación es más simple que lo representado.
Una representación es tanto mejor cuanto más compacta es, sin que pierda su expresividad.
Una representación es otro nivel de realidad, por lo que, a su vez, podría ser representada. Por lo tanto, puede haber representaciones de orden superior.

Podemos decir que una representación es un mapa completo de la realidad a considerar, según un cierto aspecto y según un cierto nivel de detalle, que intenta reflejar de manera más comprensible esa realidad, y que tiene un contenido de significación.

Lenguaje y Representación
Cuando una representación se aplica a un lenguaje, tenemos una sintaxis de ese lenguaje. Puede haber muchas formas sintácticas de un mismo lenguaje. La sintaxis es un conjunto de símbolos o signos y sus relaciones. Los símbolos son preferibles sobre los signos, pues los símbolos hacen referencia a sí mismos, mientras que los signos requieren una interpretación externa. Los signos son convencionales; por eso hay múltiples idiomas.

Es evidente que −como en el famoso cuadro de la pipa de Magritte− que el lenguaje formal es una representación o manifestación del verdadero lenguaje, que es la semántica (lo representado), que no es expresable ni representable.

La concepción especular del lenguaje

La realidad es muy compleja, y mediante el lenguaje hacemos comprensible esa realidad considerando solo lo esencial, creando un “mapa”, un reflejo o una representación de la realidad. Es lo que se denomina “concepción especular del lenguaje”.

Esta concepción o relación entre lenguaje y realidad es la que más ha perdurado en el tiempo. Se remonta a Aristóteles: las estructuras o categorías gramaticales del lenguaje son un reflejo de la realidad. Las famosas 10 categorías filosóficas las estableció a partir del análisis del idioma griego.

Esta idea fue ampliada por Locke (el lenguaje es un aspecto de la naturaleza), por Descartes (el lenguaje es una representación de imágenes mentales), por Nietzche (el lenguaje es una manifestación de la realidad, como un síntoma es una manifestación de una enfermedad) y por Wittgenstein (el lenguaje es una representación isomórfica o modelo del mundo).

Teoría de la Representación
La teoría de la representación (TR) es una rama de la matemática que estudia las estructuras algebraicas abstractas mediante la representación de sus elementos como transformaciones lineales en un espacio vectorial. El espacio vectorial se denomina “espacio de representación” y puede definirse mediante números reales, números complejos, números p-ádicos, etc.

Las estructuras algebraicas abstractas son grupos, álgebras asociativas, anillos, cuerpos, espacios vectoriales, álgebras de Lie, etc. La estructura algebraica abstracta más básica es la de grupo y sobre ella se fundamenta la TR, pues casi todas las estructuras del álgebra abstracta se pueden considerar como grupos dotados de operaciones y axiomas adicionales. Por ejemplo, un anillo (la generalización de los números enteros) se puede considerar un grupo abeliano junto con una operación adicional.

La TR simplifica. Reduce los problemas de álgebra abstracta a problemas de álgebra lineal, que son más sencillos y comprensibles. Se puede decir que la TR estudia la simetría de los espacios lineales y las representaciones de las álgebras asociativas.

La TR nació en 1897 con los artículos publicados por el matemático alemán F.G. Frobenius sobre grupos finitos. Otros pioneros fueron Burnside, Schur y Brauer.

Frobenius sistematizó el álgebra abstracta mediante procedimientos de lógica matemática y axiomática. Formalizó el concepto de representación de grupos finitos (abelianos y no abelianos), grupos de simetría y grupos alternados.

El denominado “programa de Langlands” intenta con sus conjeturas e investigaciones relacionar de forma directa la TR con la teoría de números. La correspondencia entre estos dos campos de la matemática permitiría trasladar un problema de la teoría de números a la TR y viceversa.

Conceptos principales de la TR

Los conceptos principales de la TR son:

Los elementos de un grupo G se consideran permutaciones, que son elementos estáticos.
Las permutaciones se representan mediante matrices de dígitos binarios, que son elementos dinámicos (acciones). Cada fila de cada matriz contiene solo un 1 (el resto son ceros).
Las matrices forman un grupo GM bajo la operación de multiplicación de matrices. Esta operación es asociativa, pero no conmutativa.
Todas las matrices tienen determinante 1.
El elemento neutro es la matriz unidad.
Las matrices son invertibles, que son los elementos inversos de GM.
Las matrices operan sobre vectores de un espacio vectorial V (de dimensión igual al orden de G) para obtener permutaciones concretas.

En definitiva:

Los elementos de un grupo se representan como matrices de números binarios, estableciéndose así una correspondencia entre teoría de grupos y teoría de números.
La TR transforma un grupo en otro grupo de transformaciones de simetrías.

Ejemplo

Una permutación de 2 elementos se puede representar mediante una matriz de 2×2. En general, una permutación de n elementos se puede representar mediante una matriz de n×n. Y m permutaciones seguidas se pueden representar como el producto de las m matrices correspondientes a cada una de las permutaciones.

Encontrar una representación de un grupo de simetría es equivalente al problema de encontrar matrices cuyo cuadrado sea la matriz identidad. En el caso de 2 elementos, {a₁, a₂}, las matrices son

(	1	0	)
	0	1

(	0	1	)
	1	0

La primera matriz es la matriz identidad y corresponde a la permutación P₀ = (a₁, a₂), y la segunda corresponde a la permutación P₁ = (a₂, a₁)

La dimensión del espacio vectorial es igual al orden del grupo. Para los grupos de infinitos elementos, el espacio vectorial en el que se representa el grupo es de dimensión infinita (por ejemplo, un espacio de Hilbert).

Aplicaciones de la TR

La TR es una teoría fundamental por sí misma, con importantes aplicaciones en otras ramas de la matemática (teoría de números, combinatoria, geometría, teoría de la probabilidad, etc.) y en otros campos de la ciencia, la física especialmente, pues describe cómo el grupo de simetría de un sistema físico afecta a las soluciones de las ecuaciones que describen ese sistema.

La TR ha dado lugar a numerosas generalizaciones. La más importante es la asociada a categorías: los objetos algebraicos se pueden considerar categorías, y las representaciones como funtores de la categoría de objetos a la categoría de espacios vectoriales.

El uso de la categorización como herramienta en TR ha dado lugar a la TR superior (Higher Representation Theory).

MENTAL, un Lenguaje Universal de Representación
Representación y arquetipos primarios

La representación es un fenómeno psicológico en el que la mente o la conciencia se organiza o “colapsa” en ciertas formas esenciales, simples y directas, que son los arquetipos primarios. Los arquetipos primarios son los invariantes de la conciencia. La representación, como la percepción, está estructurada alrededor de estos conceptos sencillos que son los arquetipos primarios.

Hay representaciones primarias, que son invariantes, y hay muchas representaciones secundarias formadas por combinaciones de esas primitivas para representar entidades de los diferentes campos de la matemática: teoría de números, geometría algebraica, teoría de modelos, geometría diferencial, teoría de operadores, combinatoria algebraica, topología, etc.

Hay muchas formas de representar un lenguaje. La representación natural, más simple y efectiva es la que se fundamenta en los arquetipos primarios, los arquetipos de la conciencia. Estos arquetipos son inexpresables, es decir, son irrepresentables. Solo son expresables o representables sus manifestaciones concretas.

MENTAL es un lenguaje universal de representación. Es un lenguaje de representación natural porque se basa en los arquetipos de la conciencia, los conceptos con los que estructuramos la realidad interna y externa: sus propiedades y sus relaciones estáticas y dinámicas. Además, estos arquetipos primarios constituyen los límites de lo expresable.

Es aplicable a cualquier dominio, no solo a teoría de grupos.
Unifica teoría y práctica.
Permite representar todo tipo de expresiones: extensivas e intensivas, estáticas y dinámicas, activas y pasivas, etc.
Conecta representación (lo externo) con la semántica (lo interno). Nunca se pierde la semántica primaria.
Permite representar datos, información y conocimiento, así como todo tipo de entidades matemáticas, lógicas e informáticas.
Permite representar aspectos de expresiones.

La primitiva “representación”

La representación es una de las dimensiones de la conciencia. MENTAL dispone de una primitiva que es la representación, que es una variante de la sustitución, la sustitución potencial:

(x =: y) // x representa a y

Puede haber cadenas de representaciones (representaciones de orden superior):

(x1 =: x2 =: … xn =: y)

Significa: x1 representa a x2, x2 a x3, … , xn representa a y. En definitiva, todas las expresiones x1, … , xn representan a y.
Lo normal es que, en la expresión (x =: y), x sea un nombre. Pero, como ocurre con la sustitución inmediata, x puede ser cualquier expresión, es decir, cualquier expresión puede representar a cualquier otra. En este caso podemos hablar de “representaciones imaginarias”, por ejemplo, (a+b =: 33). Es una situación análoga a las sustituciones imaginarias, como (i*i = −1), en donde i es la unidad imaginaria.

En general, x es más simple que y. Pero esto no es necesariamente así en las expresiones imaginarias.
Toda expresión, en principio, se representa a sí misma: (x =: x), de la misma forma que toda expresión se sustituye por sí misma: (x = x). Ambas expresiones se implican mutuamente:

⟨( (x =: x) ↔ (x = x) )⟩

MENTAL vs. TR

La TR es un intento de generalización y simplificación de las estructuras algebraicas abstractas, pero no es una teoría general o universal. Es una teoría restringida fundamentada en la estructura de grupo. MENTAL es aplicable a cualquier dominio, no solo a teoría de grupos.

Poincaré decía que la teoría de grupos es la esencia de la matemática y que las matemáticas son solo la historia de los grupos. En efecto, los grupos son fundamentales en matemática pero son más fundamentales los arquetipos primarios.
Los arquetipos primarios de MENTAL son categorías (filosóficas y mentales). MENTAL unifica TR y teoría de categorías.
Los grupos finitos se pueden construir como combinación de grupos simples, en un proceso análogo a los números como producto de números primos. Pero los grupos simples no son sencillos. MENTAL se fundamenta en los arquetipos primarios, que son los elementos conceptuales más simples. Los “átomos conceptuales” no son los grupos simples sino las primitivas semánticas universales.
La TR es una teoría. MENTAL es un lenguaje teórico y práctico.
La TR solo se aplica a estructuras estáticas. MENTAL permite representar todo tipo de expresiones: estáticas y dinámicas, activas y pasivas, genéricas y específicas, descriptivas y operativas, etc.
La TR es una teoría artificial. MENTAL es un lenguaje basado en arquetipos naturales.
MENTAL es el lenguaje más apropiado para representar simetrías porque sus primitivas son opuestas o duales.
Un grupo se puede definir en MENTAL mediante secuencias y sustituciones.
MENTAL une sintaxis y semántica. Y une semántica lexical y semántica estructural.
Los grupos son importantes en matemática porque unen álgebra y geometría a través del concepto de simetría. MENTAL permite expresar la geometría algebraica, que es un campo más genérico.
En la TR hay pérdida de semántica. Con las primitivas de MENTAL nunca se pierde la semántica.
MENTAL permite representaciones de orden superior. Con la TR no es posible.

Ejemplo

En MENTAL se representan las matrices mediante secuencias de secuencias (tantas secuencias como la longitud de cada secuencia).

En el caso de las permutaciones de 2 elementos, las matrices correspondientes están representadas por los nombres P/0 y P/1:

( P/0 =: ((1 0) (0 1)) ) // matriz identidad

( P/1 =: ((0 1) (1 0)) )

Podemos también representar las secuencias unitarias:

( s/1 = (0 1) )
( s/2 = (1 0) )

Y representar las permutaciones anteriores mediante estas secuencias:

( P/0 =: (s/2 s/1) // matriz identidad

( P/1 =: (s/1 s/2)

En virtud de la evaluación inversa asociada con la representación, tenemos las siguientes propiedades (*/m indica producto matricial):


( P/0 */m P/0 ) = P/0


( P/0 */m P/1 ) = P/1


( P/1 */m P/0 ) = P/1


( P/1 */m P/1 ) = P/0

Estas propiedades equivalen a la composición de permutaciones Pi•Pj.

Una matriz transforma un vector en otro vector dentro del espacio vectorial. Por ejemplo,


( P/0 */m (a b) )  // ev.  (a b)



( P/1 */m (a b) )  // ev.  (b a)

Bibliografía

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